Vacker Matematik: Fraktaler

Definition av en fraktal, något förenklat, är att man kan se en fraktal som en serie av sig själv. Det kanske låter som sån skittråkig matte igen, men låt oss gör ett litet experiment. Tänk en cirkelformad hydda i en by. Tänk sen att den här hyddan bildar en cirkel med andra likadana hyddor – en slags cirkel av hyddor. Tänk att denna cirkel av hyddor i sin tur bildar en cirkel med andra cirklar av hyddor- Vi kan kalla den här samlingen för en by. Tänk nu att byn i sin tur bildar en cirkel med andra byar och så vidare…

Fraktaler inom matematiken har formler för hur de fungerar. De är som de flesta andra ekvationer med grafer. Formeln förklarar var du ska sätta en prick i rutnätet genom att förklarar att ”om X är [siffra 1] så ska nästa X vara [siffra 2] (och en liknande formel för Y förstås)” och så kan du sätta ut en prick på ditt rutade papper. Fraktalekvationer slår dock slint på sig själv och blir ingen enkel läsbar kurva – utan kan ta märkligaste av former.

Om du till exempel följer:

x_n+1 = 0.5 x_n + 0.25

y_n+1 = 0.5 y_n + 0.5

Då ser det ut så här från index 1-5:

Skulle vi ha ritat den i större skala och hållit på längre hade vi fått:

(Den här triforce-liknande rackarn kallas för Sierpinskitriangeln efter Wacław Sierpiński)

Andra fraktaler gör andra vackra saker här i världen. Jag bara måste få berätta lite om Benoit Mandelbrot. Han kallade fenomenet ”rough shapes”. Former som aldrig lugnade ner sig hur mycket man zoomade in eller ut på dem. De flesta former vi känner igen blir liksom tama när man tittar från vissa perspektiv. Tänk en femsidig stjärna till exempel. Den ser spetsig och farlig ut, lägg till en extra arm, fortfarande farlig. Lägg till 500 armar och nu ser den mest ut som en mesig cirkel. Allt farligt bara försvinner. Så fungerar det mesta här i världen, men inte fraktaler. Det spelar ingen roll hur långt bort du är, hur mycket du lägger till eller drar ifrån. Fraktalerna är dödstuffa hela vägen. Var mer som en fraktal. Rebel ’til you die!

Mandelbrotfraktaler kan se ut ungefär så här. Ta och klicka på den bilden och studera detaljerna noggrant.

Den här videon (ursäkta den Massive Attackiga osten) visar hur det fungerar just det här med att alltid vara farlig. Här zoomar vi in på en Mandelbrot och ser varenda litet nanosteg som tas i formen och aldrig lugnar den ner sig.

Jag tycker vi tar och tittar på några fler fraktaler när vi ändå är igång.

Escheresquefraktal

Trädfraktal, tidig fas

Trädfraktal, något senare fas

Juliafraktal

Här, ta en fraktalleksak vetja! (öppnas i nytt fönster och frågar om ett program får köras)

Men nu kanske du undrar vad du ska med skivomslag från 60-talet till? Jo det är så här att de här fraktalerna inte bara är lustiga att se för att de eja hava ögon och öron utan för att när man kastar ett getöga på naturen så börjar saker kännas igen.

Fraktaler i kål. Foto 1

Fraktaler i prästkrage. Foto 2

Fraktaler i bubblor. Foto 3.

Fraktaler i bladverk. Foto 4.

Fraktal i Rödmånskaktus. Foto 5.

Fraktaler i kustlinjer. Foto 6.

Fraktaler i eroderade klippor i Utah. Foto 7.

Fraktaler i trädgrenar

Fraktaler o torkad lera. Foto 8.

Det kanske låter ospännande att matematiker tittar på verkligheten och försöker bryta ner den till en matematisk formel och ja, det låter ganska ospännande, men om det är så du tänker har du missuppfattat det hela. Dessa fraktalformler uppstår inte när vi försöker förstå vår omvärld. De uppstår i våra tankar som lekfulla tankeexperiment – utan användningsområde. Att alla jordens molekyler och atomer lyder under de reglerna var det inte meningen att hitta, det bara blev så. Men vad betyder det att lera torkar, blixtar farm fram, lövverk växer, vatten bubblar, frost bildas, snöflingar skapas, kålrötter växer och DNA strängar spretar i fraktalmönster? Det finns matematmik i världen! Världen fungerar efter komplexa system!

Det skänker mig tröst i en värld av uppfattat kaos att veta att det finns en förklaring någonstans.

Fotografer

1. Dimormar!
2. Okänd
3. Dave Pijuan-Nomura
4. David Hannah
5. Garry Jenkin
6. Ken Douglas
7. Curiouser*Curiouser
8. Bsmit4815

Läs mer

• Fraktaler
• Sierpinskitriangel
• Benoit Mandelbrot
• Mönster i naturen

(ps. försten ut att tipsa om phi får bakläxa i källgranskning. ds)