Vacker Matematik: Primtalens förträfflighet

Om du likt jag hade en vaken mattelärare när du växte upp så sporrade hen dig att se mönster och rytm i världen. Om du som de flesta här i världen inte hade en bra mattelärare tycker du säkert matte är skittrist och du är glad att du gått ut skolan så du slipper skiten.

Är du en av de sistnämnda tänkte jag försöka bjuda in dig till en underbar värld av gränslös skönhet och estetik genom logik. Välkommen till vacker matematik!

Idag ska det handla om primtalen. Ringer det en klocka någonstans i ditt huvud om vad det är för något? Kanske lite i alla fall?

Ett primtal, enkelt förklarat, är ett tal som inte går att skriva som faktorer av andra heltal (förutom sig själv gånger 1).

(Snabb kommentar för er som inte hänger med: faktorer är de saker man använder inom multiplikation. Ta 2 * 3 = 6. 2:an och 3:an är faktorer, 6:an är produkten)

1 är ett primtal. Eller ok, det finns de som inte tycker att det är så men skit i det för stunden.

2 är ett primtal.

3 är ett primtal.

4 är inte ett primtal. Varför inte? Jo, för 2 * 2 blir ju 4!

5 är ett primtal

6 är inte ett primtal. 2 *3 = 6.

osv.

Det finns inte någon exakt teknik för att ta reda på om ett tal är ett primtal eller inte. Det är enkelt när det rör sig om mindre tal som de vi nämnt här, men de växer snabbt och plötsligt blir det jäkligt jobbigt att testa alla möjliga tal som skulle kunna gå att dela det stora eventuella primtalet med.

Det finns några enkla regler som vi kan använda för att sålla. Utöver 2:an är alla primtal ojämna. Detta helt enkelt för att alla jämna tal går att dela i 2. Alla tal som slutar på 5 (utom den första 5:an förstås) är inte primtal för de går att dela med 5.

Men sen tar det slut på enkla regler tyvärr.

Så vad är grejen med detta då? Varför är primtalen speciella, det låter som att man hittat på en dum regel för att dela upp tal i grupper. Än sen då? Jo serru, primtal besitter en rad märkliga egenskaper. Länge trodde man att primtals-vetande var simpelt matterunkande – en del fnösktorra matematiker slog sig för bröstet om att de minsann sysslade med att klura på primtal och den matematiken skulle aldrig ha någon militärisk användabarhet (den mesta avancerade matten här i världen lyckas förvanskas till ond bråd död av män med medaljer på bröstet, tyvärr). Men hoppla Kerstin! Det visade sig att primtalen har lite funktion här och där. Magicikador till exempel hur utvecklats till att lämna sitt nymf-stadium vid ett av två tillfällen, antingen som 13-åring (13 är prim) eller som 17-åring (17 också). Aldrig annars. Detta för att oddsen att överleva är som mest gynnsamma då. De riskerar stöta på minst antal årskullar av sina naturliga fiender på det sättet.

Dan Zaiger, mattesnille, har sagt att ”primtal växer som ogräs bland de naturliga talen, till synes obundna av regler utöver slumpen, men ändå med en slående regelbundenhet som styrs av någon slags lag som följs med militärisk precision.” (min översättning)

En annan spännande matematiker var en snubbe som hette Stanislaw Ulam. Han satt på en synnerligen trist föreläsning en dag och skrev ner alla tal 1, 2, 3, 4, 5, 6, osv i en spiral.

Sen ringade han in alla primtalen.

Inte så spännande kanske. Men om man gör det här över en jättestor yta börjar man se ett märkligt sammanträffande.

Alla pixlar representerar tal. Varje vit pixel är ett primtal. Spiralen börjar i mitten med 1.

Mönster börjar uppstå. Mönstrerna går dessutom att att linjera på olika vis för fler läckra effekter.

Så vad som verkar vara matterunkande visar sig besitta någon form av ordning. Men det här är bara toppen av isberget. Primtal är mystik och magi i vår vardag. Varför hamnar primtalen på just dessa positioner som skapar dessa mönster? Ärligt talat har jag ingen aning, men att de gör det visar att det finns ett system även om vi inte kan se eller förstå det.

Matematik är vad som gör att världen fungerar. Det finns system för hur träd växer, var knän hamnar på ett djurs ben och hur bakterier rör sig på kliniska ytor. Förstår vi systemen förstår vi en liten del av varför saker händer. Ju fler system vi hittar desto mer kan vi förstå. Att kunna förklara ett fenomen tar inte udden av det – det gör det ännu mer magiskt. Primtalens system är till stor del fortfarande mysterium, trots att vi har känt till dem sedan åtminstone Euklides tid (300 f kr). Vad för dörrar deras system kommer öppna kittlar mig. En regnbåge är aldrig så vacker som när du förstår den oändliga komplexiteten som behövs för att den ska uppstå. Molekyler och fotoner som dansar för oss. Det är inget kort om andenupet att få existera med sådan poesi förnimbar över våra huvuden.

Läs mer om

• Primtal
• Magicikador
• Ulamspiraler